Figlio d'arte (suo padre Bruno è stato per anni bandiera della Roma e della Nazionale), ha iniziato a giocare nella Roma. Messosi in luce proprio nella squadra capitolina, riesce a segnare anche un goal all'Olimpico festeggiando sotto la Curva Sud. Nell'estate 1999 viene ceduto in comproprietà al Cagliari, che a fine stagione rileva per intero il cartellino del giocatore (1.250.000.000 Lire).
Nel Cagliari Conti ha un inizio un po' stentato, non riesce ad esprimere il suo potenziale e in alcuni casi si trova in conflitto con degli allenatori, specialmente nel suo primo periodo a Cagliari dove i risultati tardavano ad arrivare. La sua avventura a Cagliari comincia con una retrocessione e spesso pesano sulle spalle del ventenne Daniele i paragoni con il padre. Nonostante ciò riesce a meritarsi una convocazione nella Nazionale Under-21. In Serie B inizia a dimostrare il suo valore, e riesce a tornare nel campionato di Serie A dopo quattro anni. Conti è ormai un giocatore maturo e a centrocampo è sempre più utile il suo apporto nei meccanismi della squadra sarda. Veste spesso la fascia di capitano anche se ufficialmente è il vice di Diego López in questo ruolo. Per la sua grinta è tra i giocatori più amati dai tifosi. La stagione 2007-2008 mette notevolmente in luce il centrocampista romano, infatti è uno dei protagonisti della difficile salvezza della squadra sarda. Proprio un suo goal al 95' di Cagliari–Napoli ha dato un'insperata vittoria ai sardi (sotto di un goal fino al 93'). Al termine della stagione, il giocatore riceve diverse offerte, ma prolunga il suo contatto fino al 2011.
Curiosità
Attualmente è il giocatore più pagato della squadra sarda con un ingaggio di circa 350.000 € a stagione e a lui è stato anche recentemente intitolato un Cagliari club.
